学術選書●わかっているようでわからない数と図形と論理の話【西田吾郎著】 2013 京都大学学術出版会
学術選書●わかっているようでわからない数と図形と論理の話【西田吾郎著】 2013 京都大学学術出版会
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●2013年版。発売時定価～1,800+税円
●足し算の計算法や長方形の面積の求め方は、小学校で習う当たり前のこと。しかし、「なぜ１＋１＝２なのか？」「そもそも面積とは何か？」と問われると、きちんと説明できる人は少ないのではないでしょうか。本書は、高校や大学初学年で学ぶ数と図形と論理の数学から、当たり前のようで実はきちんと理解されていない１０のトピックスを取り上げ、丁寧に解説します。
目次
第I話 定義と定理 −− 1+1=2はどうして正しい?
1 定義とはなにか −− 定義と定理の違い
2 間接的な定義 −− 見かけでは定義に見えないときもある
3「1+1=2」は自然数の定義の一部である
4 不親切な用語
第Ⅱ話 負数と整数 −− (-1)x(-1)=1 について
1 掛け算とはなんだったのか
2 自然数の加法，足し算と寄せ算
3 自然数の掛け算は本質的に足し算である
4 0の発見
5 負数と整数はどのように定義されるのか
6 マイナス×マイナスはなぜプラスか
7 (-1)x(-1)=1が成り立つ数のモデル
8 発見と創造
第Ⅲ話 分数と有理数 −− 分数の割り算はなぜひっくり返して掛ける?
1 分数と割り算は同じものか
2 分数と有理数の正式な定義
3 分数で割るとはどういう意味なのか
4 分数とユークリッド幾何 −− 線分をn等分する
5 正5角形，黄金分割とフィボナッチ数
6 自然数の割り算と整数論
第Ⅳ話 実数とはなにか −− 0.999・・・=1,≠1?
1 無限小数と実数 −− 0.999・・・=1?
2 循環しない無限小数とはなにか
3 直線をハサミで切る −− デデキン卜の切断
4 カントールの対角線論法
5 無限の哲学 −− 可能無限と実無限
第V話 角度と面積と左右
1 1°という角はどのようにして測るのか
2 弧度法 −− 円弧の長さとはなにか
3 角の3等分 −− ギリシャ以来の不可能問題
4 図形の面積 −− 突然すべての面積が2倍になったら
5 面積の定義とボヤイの定理
6 右と左 −− 鏡の中の上下，左右と前後
7 向き付けとはなにか −− メビウスの帯
第Ⅵ話 虚数iはどこに存在する?
1 3次方程式のカルダノの公式
2 虚数の存在 −− まず代数モデルについて
3 複素数の幾何モデル −− ガウスの天才的発想
4 複素数は究極の数である
第Ⅶ話 オイラーの公式eiπ=-1とはなにか
1 指数関数 −− 2のπ乗をどう定めるか
2 自然界の指数関数と対数関数
3 指数関数の微分 −− ネイピアの定数はなぜ重要なのか
4 複素数の値をもつ指数関数
5 オイラーの公式 −− 三角関数の加法公式は指数法則である
第Ⅷ話 非ユークリッド幾何 −− 曲がっていても「直線」
1 合同とはなにかを見直す
2 平行線公理 −− 三角形の内角の和はいくらか
3 非ユークリッド幾何 −− 双曲面の上で幾何を考える
4 閉じた「直線」の幾何
第Ⅸ話 数学と論理
1 なぜ論理を学ぶのか
2 命題論理 −− 「ゆえに，または，かつ，でない」の論理
3 真ではないことはない=真?
4 AならばB −− 嘘からまことは導けるか
5 背理法と矛盾 −− 矛盾があれば何でもいえる
6 記述論理 −− 言葉の正しい使い方
7 排中律についてもう少し考える
第X話 パラドックスいろいろとゲーデルの不完全性定理
1 ゼノンのパラドックス −− アキレスとカメ
2 論理に関わるパラドックス
3 集合にまつわるパラドックス
4 ゲーデルの不完全性定理
付録A 数列の極限と微分
1 数列の収束
2 連続的変数に関する極限値
3 ネイピアの定数
4 簡単な微分の公式
5 指数関数の微分
6 三角関数の微分
付録B ベキ級数， 指数関数と三角関数
1 無限級数 −− 絶対収束するなら有限級数と同じことができる
2 ベキ級数
3 指数関数と三角関数はベキ級数で定義できる
付録C 空間の一次変換
1 2行2列の行列と平面の一次変換
2 3行3列の行列と空間の一次変換
3 一次変換と双曲面
西田 吾郎（にしだ ごろう）
1943年大阪府生まれ．
京都大学名誉教授，理学博士．
京都大学大学院理学研究科修士課程修了．
京都大学理学部，大学院理学研究科教授，同副学長を歴任．
【専攻】位相幾何学
【主な著作】『ホモトピー論』（共立出版 1985），『線形代数学』（京都大学学術出版会 2009），『数，方程式とユークリッド幾何』（京都大学学術出版会 2012）など． B6ペーパーバック270ページ
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